Breuken worden veel gebruikt in de wiskunde. Een breuk is eigenlijk een andere manier om ‘delen door’ weer te geven. Je deelt getal A door getal B en dat levert de volgende breuk op: A/B. Een breuk geeft eigenlijk een verhouding weer: deel/geheel.

Waarom schrijven we dan niet gewoon ‘gedeeld door’? Omdat breuken gecompliceerde berekeningen een stuk overzichtelijker maken. Bij een breuk bereken je eerst alles boven de deelstreep, vervolgens alles onder de deelstreep en dáárna deel je het pas door elkaar.

Wat is een breuk?

Een breuk bestaat uit twee delen:

  • Het getal boven de streep: de teller
  • Het getal onder de streep: de noemer

Zo is 3 gedeeld door 4 hetzelfde als ¾.

Breuken Vereenvoudigen

Als je een breuk tegenkomt, wil je die zo ver mogelijk vereenvoudigen. Dit betekent dat je de getallen boven en onder de deelstreep verandert in zo klein mogelijke hele getallen. Je deelt de teller en de noemer steeds door hetzelfde getal. Dat betekent dus dat de teller en noemer allebei deelbaar moeten zijn door datzelfde getal. Als er geen getal meer is waar de teller en noemer allebei door gedeeld kunnen worden, dan is de breuk versimpeld. Het versimpelen mag in stapjes.

Zie hieronder een voorbeeld:

Als de teller hoger is dan de noemer kun je de waarde van de noemer van de teller aftrekken.

Machten in een Breuk

Het is ook mogelijk om machten in een breuk te hebben.

Vereenvoudig eventueel de breuk.

Rekenen met Breuken

Het rekenen met breuken is best simpel.

Optellen en Aftrekken

Voordat je breuken mag optellen en aftrekken, moeten de breuken aan één eis voldoen: ze moeten dezelfde noemer hebben. Als dat al het geval is, dan mag je de tellers bij elkaar optellen of aftrekken om er één breuk van te maken. Als de noemers niet aan elkaar gelijk zijn, moet je ze gelijk maken. Je kunt dat doen door ze met elkaar te vermenigvuldigen. Als je de noemer met iets vermenigvuldigt, moet je de teller met datzelfde vermenigvuldigen zodat de verhouding gelijk blijft.

Let op: Een getal kan altijd geschreven worden als een breuk met 1 als noemer. Dit mag omdat alles gedeeld door 1 zichzelf is. Kijk maar: 5 = 5/1. Er verandert dus niets tussen A = A/1. Door een gewoon getal als een breuk te schrijven, kun je die soms makkelijker gebruiken bij rekenregels.

Vermenigvuldigen

Om breuken te vermenigvuldigen met elkaar, moet je simpelweg de tellers vermenigvuldigen en de noemers vermenigvuldigen.

Delen

Om breuken door elkaar te delen moet je het volgende onthouden: 'delen door' is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde. Dit is logisch als je bedenkt dat de acties ‘delen door’ en ‘vermenigvuldigen’ ook eigenlijk elkaars tegenovergestelde zijn. Het houdt in dat je de breuk in de noemer vermenigvuldigt met de omgekeerde breuk uit de teller.

Kruislings Vermenigvuldigen

Als je aan beide kanten van een =-teken een breuk hebt staan, dan stel je die breuken dus aan elkaar gelijk. In deze situatie mag je de tellers en noemers dus kruislings vermenigvuldigen. Je vermenigvuldigt de teller van de ene breuk met de noemer van de andere breuk. Wat we eigenlijk doen is de breuk wegwerken door deze te vermenigvuldigen met zijn noemer. Maar wat we aan de ene kant van het =-teken doen, moeten we ook aan de andere kant van het =-teken doen.

Let op bij wortels

Als de gehele breuk onder een wortelteken staat, mag je dat ook schrijven als een wortel boven en een wortel beneden.

Rekenen met machten

Vermenigvuldigen:

Delen:

Machtsverheffen:

Optellen en aftrekken:

Let op! Je mag nooit twee getallen met verschillende machten optellen of aftrekken.

Rekenen met Wortels

Je kunt bij wortels gewoon rekenen net zoals bij alle andere getallen zolang de macht van de wortels hetzelfde zijn.

Optellen en aftrekken kan alleen met gelijksoortige wortels. Je volgt de regel: $$a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a + b)\sqrt{x}$$. Voor het vermenigvuldigen van wortels geldt de regel $$\sqrt{a}$$ · $$\sqrt{b}$$ = $$\sqrt{ab}$$.

Neem bijvoorbeeld $$\sqrt{18}$$. Vind een getal waarvan de wortel een heel getal is. Neem de wortel van de gevonden getallen en schrijf deze voor het wortelteken.

Bij het wegwerken van een breuk onder het wortelteken, maak je gebruik van de rekenregel voor het delen van wortels en de regel voor het wegwerken van een wortel uit de noemer van een breuk.

Omzetten van Breuken, Machten en Wortels

Je kunt breuken, machten en wortels heel makkelijk omzetten. Je mag dit alleen gebruiken om een functie op te lossen, omdat de uitkomsten voor negatieve waarden van x kunnen afwijken.

Waarom is dit belangrijk?

Je moet goed met breuken kunnen rekenen om straks geen problemen te krijgen met algebra. Bij algebra ga je namelijk rekenen met letters. Kijk maar eens naar 1/a + 1/b. Dat is een algebra sommetje.

Wat betekent een breukstreep eigenlijk?

Een breukstreep is niets anders dan een deelteken. Zes-derde betekent gewoon 6:3 en is dus gelijk aan 2. Een breukstreep is dus gewoon een deelteken.

Je kunt elke breuk op oneindig veel manieren opschrijven omdat de waarde van een breuk niet verandert als je de teller en de noemer met een zelfde getal vermenvuldigt of door een zelfde getal deelt.

De breuk 38/7 heeft een waarde van 5 plus 3/7. Nog even herhalend, 38/7 is 38:7 is 5 rest 3 is 5 3/7.

Kijk nu maar naar 5 3/7. Je hebt 5 helen. Dat zijn 5 keer 7 partjes van 1/7. Dat hele getal 5 is dus gelijk aan 35/7. Maar je hebt ook nog 3 partjes van 1/7. Je vermenigvuldigt dus het hele getal met de noemer en je telt daar de teller er bij op.

labels:

Zie ook: