In de wiskunde gebruik je integralen om hellingen en extreme waarden te berekenen. Echter, is het ook mogelijk om de andere kant op te werken! Dit noemen we primitiveren. De primitieve van functie f(x) wordt vaak aangeduid als F(x).
Wat is primitiveren?
De primitieve van een functie van de vorm f(x) = axn heeft altijd de vorm F(x) = a/(n+1)xn+1 + c. De 'c' is een constante, dit kan elk getal zijn. Je moet de 'c' er bij een primitieve er altijd bij zetten. Dat komt omdat de afgeleide van een constant getal gelijk is aan nul.
Je kan controleren dat F(x) = a/(n+1)xn+1 + c de juiste vorm is: Als je afgeleide hiervan neemt, krijg je namelijk f(x) = (n+1) * a/(n+1) * x(n+1)-1=axn.
Primitiveren van verschillende functies
Primitiveren kan niet alleen bij machtsfuncties, maar bij alle soorten functies. Hieronder een tabel met een aantal voorbeelden van primitieven van verschillende functies:
| Functie f(x) | Primitieve F(x) |
|---|---|
| axn | a/(n+1)xn+1 + c |
| eax | (1/a)eax + c |
| sin(x) | -cos(x) + c |
| cos(x) | sin(x) + c |
De kettingregel bij primitiveren
Zoals je bij de afgeleide de kettingregel hebt, heb je die ook bij de primitieve. Bij de afgeleide heeft een functie van de vorm f(x) = eax bijvoorbeeld een afgeleide van f'(x)=a eax. Dan heb je de kettingregel nodig.
De cosinus wordt bij de primitieve een sinus, en dankzij de kettingregel moet je de 6 delen door 2.
Voorbeeld: Primitiveren van een functie
Je moet de primitieve van f(x) = 2x3 + 8x berekenen, hoe doe je dat dan?
In het eerste deel heb je n=3 en a=2, dus de primitieve hiervan wordt 2/(3+1) x3+1 = 1/2 x4. Het tweede deel heeft n=1 en a=8, dus de primitieve hiervan wordt 8/(1+1)x1+1 = 4x2.
Tenslotte kan je deze twee delen bij elkaar optellen en je moet natuurlijk niet de 'c' vergeten. De resulterende primitieve is dus: F(x) = 1/2 x4 + 4x2 + c.
Integreren van wortelfuncties
Die wortelfunctie integreren is nog niet zo eenvoudig, volgens mij heb je de technieken daar niet voor gezien. Gelukkig is dat ook niet nodig, want uit het modelantwoord leid ik af dat je een omwentelingsvolume moet berekenen (daar heb je normaal gezien een formule met integralen voor gezien). Hierdoor komt er een kwadraat bij je functie, dus de vierkantswortel valt weg.
labels:
Zie ook:
- Wortel Kokos Soep: Verwarmend & Exotisch!
- Spitskoolsoep met wortel: Het lekkerste recept!
- Hartige Taart met Wortel: Een Verrukkelijke Vegetarische Optie!
- Ontdek Heerlijke Italiaanse Drie Gangen Diner Recepten die je Moet Proberen!
- Ontdek Verrukkelijke Pangasiusfilet Recepten voor in de Oven die je Moet Proberen!
