Wortels zijn natuurlijk gezond en lekker om te eten, maar wortels zijn ook een belangrijk onderdeel in de wiskunde. In dit artikel lees je meer over wortelverbanden en leer je hoe je met wortels rekent.

Wat is een vierkantswortel?

Een vierkantswortel is het tegenovergestelde van een kwadraat. Het nemen van een vierkantswortel van een getal is dan ook het tegenovergestelde van het kwadraat nemen van een getal. Zo is 3 in het kwadraat bijvoorbeeld 9 (32 = 9), dus de vierkantswortel van 9 is 3. Vierkantswortels zijn de bekendste soort wortels. Deze vierkantswortel kun je op de meeste rekenmachines vinden, zeker op de grafische rekenmachines die je tijdens het eindexamen mag gebruiken.

Vergeet hierbij niet dat elk getal eigenlijk twee vierkantswortels heeft. Voorbeeld: 3 vermenigvuldigd met 3 is gelijk aan negen (32 = 9) maar -3 vermenigvuldigd met -3 is ook gelijk aan negen (-3)2 = 9. Met andere woorden: 32 = (−3)2 = 9, maar ook √9 = ± 3, waarbij de ± staat voor 'plus of min'.

Vierkantswortels vereenvoudigen

Hetgeen wat een belangrijke vaardigheid is en vaak als moeilijk wordt ervaren is het vereenvoudigen van vierkantswortels. Echter, je hoeft maar enkele eenvoudige regels te onthouden om dit soort problemen op te lossen. Vierkantswortels kunnen namelijk op dezelfde manier worden ontbonden als gewone getallen. Kijk maar: 6 = 2 × 3, dus √6 = √2 × √3. Houd dus ook altijd de algemene voorrangsregels in de wiskunde in het achterhoofd.

Nu was het voorbeeld hierboven makkelijk, maar het kan natuurlijk ook voorkomen dat je met grotere getallen te maken krijgt. Het vereenvoudigen van grotere wortels, is het makkelijkst als je de wortel stap voor stap factoriseert. Neem bijvoorbeeld √132. √132 is een grote wortel en het kan moeilijk te zien zijn wat je precies moet doen. Je kunt echter wel snel zien dat het getal deelbaar is door 2, dus je kunt √132 = √2 × √66 schrijven. Het getal 66 is echter ook deelbaar door 2, dus heb je nu: √2 × √66 = √2 × √2 × √33. In dit geval geeft een vierkantswortel van een getal vermenigvuldigd met een andere vierkantswortel (√2 × √2) het oorspronkelijke getal (dit is immers de betekenis van de vierkantswortel). Daarom geldt √132 = √2 × √2 × √33 = 2 × √33.

Kortom, kun je de vierkantswortels vereenvoudigen met behulp van de volgende regels:

  • √ (a × b) = √a × √b
  • √a × √a = a

Maar wat is dan de wortel van een negatief getal? Hiervoor is ook een oplossing! Die oplossing is namelijk het getal van i, ook wel imaginaire getal. Je hoeft dat niet te kennen voor het eindexamen, maar als je het interessant vindt kun je het eens online opzoeken.

Voorbeeld

Neem de formule y = √5x en zie onderstaande tabel.

x y
0 0
1 2,24
2 3,16
3 3,87
4 4,47
5 5
6 5,48
7 5,92

Als x = 0, geldt dat ook y = 0 is. Dit is duidelijk, omdat alles vermenigvuldigd met 0, ook 0 oplevert, en dit geldt ook voor wortels. Bij x = 5, geldt y = 5. Je vermenigvuldigt namelijk het getal 5 met zichzelf en je ziet dat je de wortel ervan moet nemen, wat dan dus 5 is. Door al de waarden van x in te vullen in de vergelijking, kunnen de waarden van y verkregen worden. Hieruit is het weer mogelijk om een grafiek te maken, door de verkregen coördinaten als een lijn met elkaar te verbinden.

Voorbeelden van rekenen met wortels

  • √12 = √2 × √6 = √2 × √2 × √3 = 2 × √3 = 3,4641
  • √24 = √2 × √12 = √2 × √2 × √6 = 2 × √6 = 4,8990
  • √36 = √2 × √18 = √2 × √2 × √9 = 2 × √9 = 2 × 3 = 6
  • √72 = √2 × √36 = √2 × √4 × √9 = √2 × √2 × √2 × √9 = 2 × √2 × √9 = 6 × √2 = 8,4853

Andere wortels

Het komt ook wel eens voor dat je te maken hebt met een kubuswortel, oftewel een derdemachtswortel van een getal. Net als vierkantswortels zijn deze precies het tegenovergestelde van de macht van getallen. Dus 33 = 27, en dat betekent dat de kubuswortel van 27 1/3 is, ofwel ∛27 = 3. Het symbool "∛" vertegenwoordigt de kubuswortel van het getal dat erna komt.

Wortels worden soms ook uitgedrukt als fractionele machten, dus √x = x1/2 en ∛x = x1/3.

Een wortel is een getal. Het is een getal dat te maken heeft met de oppervlakte van een vierkant en de zijde van dat vierkant. Als je weet wat de oppervlakte is van een vierkant, dan is de wortel de lengte van de zijde van dat vierkant. Als de oppervlakte van een vierkant, bijvoorbeeld vijfentwintig is, dan is één zijde van dat vierkant vijf. Je zegt dan dat de wortel van vijfentwintig vijf is. De wortel van vijfentwintig is vijf. Als je de tafel van vijf goed kent dan weet je dat vijf keer vijf vijfentwintig is. Vijf keer vijf noem je ook wel het kwadraat van vijf.

Om dat te weten te komen kun je kijken welke twee getallen met elkaar vermenigvuldigt 337 geven. We beginnen met een vermenigvuldiging die niet zo moeilijk is: 20 x 20. Dat geeft als antwoord: 400. De wortel van 337 is kleiner dan 20. Laten we nog een vermenigvuldiging doen die niet zo moeilijk is: 15 x 15. De wortel van 337 is groter dan 15. We gaan eens kijken of de wortel misschien 18 is. Als je 18 x 18 uitrekent dan krijg je als antwoord: 324. De wortel van 337 is groter dan 18. Nog een getal hoger proberen: 19 x 19. De wortel van 337 is kleiner dan 19. De wortel van 337 ligt dus ergens tussen 18 en 19.

Laten we eens proberen of de wortel van 337 misschien 18,5 is. (18,5 x 18,5 = 342,25). Dat is nog steeds hoger dan 337. Doen we nog een vermenigvuldiging: 18,3 x 18,3. Daarvan is de uitkomst: 334,89. Dat is dus te laag. Doen we nog een vermenigvuldiging: 18,4 x 18,4. Daarvan is de uitkomst: 338,56. Dat is dus te hoog. Doen we nog een vermenigvuldiging: 18,35 x 18,35. Daarvan is de uitkomst: 336,7225. Dat is bijna 337. De wortel ligt dus in de buurt van de 18,35. Laten we voor de zekerheid nog eens 18,36 x 18,36 doen. Daarvan is de uitkomst: 337,0896. Dat is net iets meer dan 337. De laatste vermenigvuldiging die we doen is: 18,358 x 18,358. Daarvan is de uitkomst: 337,016164. Die uitkomst is afgerond bijna gelijk aan 337. De wortel van 337 is dus ongeveer 18,358.

Behalve bovenstaande methode kun je het antwoord ook vinden met behulp van de zogeheten staartworteltrekking. Een soort staartdeling maar dan voor wortels. Het getal 'onder de wortel', 337, verdeel je vanaf rechts in vakjes van twee. Dan hebben we één vakje van twee en houden dus één vakje met één cijfer over, 3. Nu gaan we kijken wat het grootste kwadraat onder 3 is. 2 is te groot, want 2 kwadraat is 4. Dus is het 1 (want 1 is 1 kwadraat). Die schrijven we rechts van het = teken als begin van het antwoord waaraan we gaan bouwen. We trekken 1 van 3 af en houden 2 over. We halen twee cijfers (het eerste vakje van twee dus) van boven bij, voegen die achter de zojuist gevonden 2 en krijgen het getal 237. Nu komt de grote truc, waar de methode om draait: we verdubbelen de gevonden 1 achter het = teken (wordt dus 2) en maken daar een vermenigvuldiging van: 2 _ x _. Vervolgens gaan we kijken wat het grootste getal is dat we met die vermenigvuldiging kunnen maken dat kleiner is dan 237 door op de plaats van de streepjes hetzelfde cijfer te zetten. Dat is 224, want 28 x 8 = 224, dus op de plaats van de streepjes komt 8. Het verschil is 13. Maar daarmee komt de som nog niet uit, dus krijgen we een tiendelige breuk als antwoord. We halen nu twee nullen van boven bij (want 337 is eigenlijk 337,00000 enz.) en vinden 1300. Welk cijfer moet op de plaats van de streepjes komen? en vinden 1089. Rechts boven, nu achter de komma, de gevonden 3 toevoegen, en 1089 van 1300 aftrekken. Op de plaats van de streepjes komt een 5, en we vinden 18325. 5 rechtsboven toevoegen, 18325 aftrekken, twee nullen toevoegen aan het verschil, 1835 verdubbelen tot 3670 en een nieuwe vermenigvuldiging maken. We doen nogmaals hetzelfde. 7 rechtsboven toevoegen, 256949 aftrekken, twee nullen toevoegen aan het verschil, 18357 verdubbelen tot 36714 en een nieuwe vermenigvuldiging maken.

Worteltrekken is het tegenovergestelde van kwadrateren, net zoals plus het tegenovergestelde van min is en keer het tegenovergestelde van gedeeld door. Een kwadraat is een getal keer zichzelf, bijvoorbeeld 42=16. Bij worteltrekken wil je weten welk getal je met zichzelf kan vermenigvuldigen om dat antwoord te krijgen. Je schrijft een wortel met het teken √. Een som schrijf je op als: √25=5.

Een wortel is namelijk het tegenovergestelde van een kwadraat, maar er bestaan ook machtswortels! Bijvoorbeeld 3√2 is de tegenhanger van 2(1/3), 10√2 is de tegenhanger van 2(1/10). Je kan de wortels berekenen met je rekenmachine. Bij een machtswortel moet je invoeren om welke macht het gaat, voor een vierkantswortel kan je het wortelknopje gebruiken.

labels:

Zie ook: