Worteltrekken is het tegenovergestelde van kwadrateren, net zoals plus het tegenovergestelde van min is en keer het tegenovergestelde van gedeeld door. Bij worteltrekken zoek je als uitkomst het getal dat in het kwadraat het getal van de opgave is. Een kwadraat is een getal keer zichzelf, bijvoorbeeld 4²=16. Bij worteltrekken wil je weten welk getal je met zichzelf kan vermenigvuldigen om dat antwoord te krijgen.

Je schrijft een wortel met het teken √. Een som schrijf je op als: √25=5. Een wortel is namelijk het tegenovergestelde van een kwadraat, maar er bestaan ook machtswortels! Bijvoorbeeld ³√2 is de tegenhanger van 2(1/3), ¹⁰√2 is de tegenhanger van 2(1/10). Je kan de wortels berekenen met je rekenmachine. Bij een machtswortel moet je invoeren om welke macht het gaat, voor een vierkantswortel kan je het wortelknopje gebruiken.

Ezelsbruggetjes die Handig zijn bij Rekenen

Voor het oplossen van een som moet je kind zich vaak aan allerlei rekenregeltjes houden. Het gevolg hiervan is dat je kind misschien niet precies weet hoe een som opgelost moet worden. Gelukkig zijn er ezelsbruggetjes die je kind kunnen helpen om een som op de juiste manier op te lossen. Breng jij je kind deze ezelsbruggetjes bij? Dan plukt hij hier vast en zeker de vruchten.

Wie denkt dat er slechts een paar ezelsbruggetjes zijn om sommen op te lossen, heeft het mis. Er zijn namelijk verschillende trucjes om je kind de helpende hand te bieden bij het oplossen van sommen. Om je hier wat meer inzicht in te geven, zet Squla hieronder een aantal ezelsbruggetjes op een rijtje die handig zijn bij rekenen.

Lengtematen Ezelsbrug

Tijdens de rekenlessen op de basisschool wordt aandacht besteed aan lengtematen, zoals kilometers, meters en centimeters. Omdat er verschillende soorten lengtematen zijn, lukt het je kind mogelijk niet om ze te onthouden. Het voornaamste probleem is vaak dat kinderen niet weten welke afkorting bij welke lengtemaat hoort. Bovendien weet niet ieder kind wat de verhoudingen tussen lengtematen zijn. Als je kind hiermee worstelt, biedt het ezelsbruggetje ‘Kan Het Dametje Met De Centimeter Meten?’ uitkomst. De beginletter van ieder woord staat voor een lengtemaat. Meten staat voor Millimeter (mm).

Ezelsbruggetje Vermenigvuldigen

Sommige kinderen gaat het rekenen met breuken goed af, maar dit geldt niet voor iedereen. Het optellen en aftrekken van gelijknamige breuken levert vaak geen problemen op, maar bij het vermenigvuldigen van breuken gaan sommige kinderen wel de fout in. Om het uitrekenen van zo’n som makkelijker te maken, kun je je kind het teller-noemer-ezelsbruggetje leren. Moet je kind de som 2/3 x 3/5 oplossen? Dan vermenigvuldigt hij simpelweg beide tellers en beide noemers met elkaar. Dit resulteert in de breuk 6/15. Maak je kind duidelijk dat hij de breuk nog moet vereenvoudigen. 6 en 15 kun je allebei delen door 3, waardoor 2/5 het juiste antwoord is.

Moet je kind een deelsom met breuk(en) oplossen? Dan moet je weten dat delen door een breuk hetzelfde is als vermenigvuldigen met het omgekeerde. 4/6 : 2/4 is dus hetzelfde als 4/6 x 4/2. Als je kind dit op de juiste manier uitrekent, komt hij uiteindelijk op 16/12 uit. Schrijf dit niet als antwoord op, maar vereenvoudig de breuk. Je kind haalt eerst de helen eruit, waardoor er 1 4/12 overblijft. Zowel 4 als 12 kun je nu nog delen door 4. Het juiste antwoord is daarom 1 1/3.

Delen Door Nul is Flauwekul

Als je kind net begint met rekenen, wordt er allereerst aandacht besteed aan optellen en aftrekken. De sommen worden steeds moeilijker, maar hier blijft het niet bij. Je kind leert namelijk ook nieuwe strategieën , waaronder vermenigvuldigen en delen. Bij een deelsom kan je kind gevraagd worden om een getal door 0 te delen, zoals 8 : 0 of 25 : 0. Voor het oplossen van deze som kan je kind het ezelsbruggetje delen door nul is flauwekul’ gebruiken. Dit betekent niets anders dan dat delen door 0 niet mogelijk is. Het antwoord op een som waarin je kind iets door 0 moet delen is hierdoor altijd ‘dat kan niet’.

Noord-Oost-Zuid-West Ezelsbruggetje

Tijdens de rekenlessen komt je kind ook in aanraking met windrichtingen. Om je kind hier wat meer over bij te brengen, wordt er in het begin een zogeheten windroos voor gebruikt. Dit hulpmiddel wordt door sommige mensen ook wel een kompas genoemd. Na verloop van tijd wordt van je kind verwacht dat hij ook zonder windroos kan aangeven om welke richting het gaat. Een ezelsbruggetje kan je kind helpen om de volgorde van de windrichtingen makkelijk te onthouden. Het gaat in dit geval om ‘Nooit opstaan zonder wekker’. Wekker staat voor het Westen.

Cirkels: Oppervlakte en Omtrek

Haalt je kind de oppervlakte en omtrek vaak door elkaar? Geen paniek, want ook hier is weer een handig ezelsbruggetje voor. Met de oppervlakte wordt namelijk het gedeelte bedoeld dat je kind in kan kleuren. Wie de oppervlakte van een cirkel moet berekenen, richt zich daarom tot het gedeelte binnen de lijnen. Dit geldt overigens ook voor andere vormen, zoals een vierkant of rechthoek. In het woord omtrek zit het woordje ‘om’. Aan de hand hiervan kan je kind onthouden dat met de omtrek de buitenkant van een cirkel of ander figuur bedoeld wordt.

Voorrangsregels: ‘Hoe Moeten Wij Van De Onvoldoendes Afkomen’

Je kind kan te maken krijgen met sommen waarin verschillende bewerkingen aan bod komen. Zo zijn er sommen waarbij je kind zowel moet optellen als vermenigvuldigen. Deze sommen worden lang niet altijd in de juiste volgorde opgelost. Zonde, want een verkeerde werkwijze resulteert in een fout antwoord. Daarom kan je kind het ezelsbruggetje ‘Hoe Moeten Wij Van De Onvoldoendes Afkomen’ gebruiken. Regel 4 (van links naar rechts in de som): Optellen en Aftrekken.

Slaagt je kind erin om dit ezelsbruggetje uit zijn hoofd te leren? Dan lukt het hem vast en zeker om het juiste antwoord te vinden op een som met meerdere bewerkingen. Laat je kind simpelweg het bovenstaande lijstje doorlopen en dan komt het goed. Komt een bewerking niet voor in een som? Dan gaat je kind gewoon verder met de volgende bewerking.

Assenstelsel Ezelsbrug

Op de basisschool komt je kind vroeg of laat in aanraking met grafieken. Zo’n grafiek wordt vaak weergeven in een assenstelsel. Dit stelsel heeft een x-as en een y-as. Hoe vaak je kind hier ook mee oefent, het kan lastig blijven om te bepalen of de x-as de verticale of horizontale lijn is. Gelukkig zijn hier verschillende ezelsbruggetjes voor. Je kind kan zich eerst tot het alfabet richten. De x komt namelijk voor de y, waardoor de horizontale lijn de x-as is en de verticale lijn de y-as. Je kind kan de coördinaten ook uit elkaar houden door het zinnetje ‘Als een kip een ei (y) legt, valt het naar beneden’. De y komt bij de verticale lijn te staan, waardoor je kind weet dat de x bij de horizontale lijn hoort.

Ezelsbruggetje voor de Komma

Moet je kind een kommagetal vermenigvuldigen of delen? Dan is de kans aanwezig dat de komma één of meerdere plekken verschuift. Als je kind de komma de verkeerde kant op verplaatst, resulteert dit in een verkeerd antwoord. Met behulp van een ezelsbruggetje kan je kind makkelijk onthouden welke kant de komma op moet. Aan de hand van de woorden ‘keer’ en ‘deel’ kan je kind het vrij eenvoudig afleiden. ‘Keer’ eindigt op een ‘r’, waardoor de komma bij vermenigvuldigen opschuift naar rechts. Doordat ‘deel’ eindigt op een ‘l’ schuif je de komma bij deelsommen juist op naar links.

De Vlakken van een Vierkant

Doordat een vierkant meerdere vlakken heeft, haalt je kind deze mogelijk door elkaar. Om de vlakken van een vierkant uit elkaar te houden leer je je kind het ezelsbruggetje ‘ROBijnZoeker’. De hoofdletters in dit woord vertegenwoordigen ieder een eigen onderdeel van een vierkant. Zo staat de R voor ribbe, de O voor onderkant, de B voor bovenkant en de Z voor zijvlak. Breng je jouw kind dit simpele trucje bij? Dan lukt het hem vast om de vlakken van een vierkant uit elkaar te houden.

Ezelsbruggetjes om Snel uit je Hoofd te Leren Rekenen

Ezelsbruggetjes kunnen je kind helpen om sommen snel uit zijn hoofd op te lossen. Zo helpt ‘Delen door nul is flauwekul’ je kind bijvoorbeeld om snel een antwoord te vinden op een deelsom waarin een getal gedeeld moet worden door 0. Een ander ezelsbruggetje dat helpt bij snel hoofdrekenen is ‘Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde’. Als je kind twee breuken door elkaar moet delen, draait hij de teller en noemer van de laatste breuk simpelweg om. ‘Kan Het Dametje Met De Centimeter Meten’ is een ezelsbruggetje om (lengte)maten uit elkaar te houden. Iedere eerste letter van de woorden staat namelijk voor een (lengte)maat. Wie twee breuken moet vermenigvuldigen, vermenigvuldigt simpelweg beide tellers en noemers met elkaar. Breuken delen gaat iets anders in zijn werk. Delen door een breuk is namelijk hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde. 4/5 : 1/2 los je dus op door 4/5 x 2/1 op te lossen.

Om te bepalen in welke volgorde je een som oplost, maak je gebruik van het ezelsbruggetje ‘Hoe Moeten We Van Die Onvoldoendes Afkomen’. De eerste letter van deze woorden staat achtereenvolgens voor haakjes, machtsverheffen, worteltrekken, vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken. Nee, een getal delen door 0 is niet mogelijk. De omtrek en oppervlakte worden nogal eens door elkaar gehaald. Toch kan je kind ze vrij eenvoudig uit elkaar halen. In omtrek zit namelijk het woordje ‘om’. Hieraan kan je afleiden dat het gaat om de buitenkant van een figuur. Bij het vermenigvuldigen en delen van kommagetallen weet niet iedereen of de komma naar rechts of naar links moet. Aan de hand van de woorden ‘keer’ en ‘deel’ kan je kind dit eenvoudig aflezen. ‘Keer’ eindigt namelijk op een ‘r, waardoor de komma bij vermenigvuldigen naar rechts moet. Ja, er is een ezelsbruggetje om de vlakken van een vierkant uit elkaar te houden. Hier kan je kind ‘ROBijnZoeker’ voor gebruiken. Om de x-as en y-as van een assenstelsel uit elkaar te houden kan je kind ezelsbruggetjes gebruiken. Het alfabet kan uitkomst bieden. De ‘x’ komt namelijk eerder dan de ‘y’, waardoor de ‘x’ bij de onderste as hoort.

Complexe Getallen

Getallen die de wortel uit -1 bevatten, heten complexe getallen. Deze complexe getallen zijn niet meer weg te denken uit de hedendaagse wis- en natuurkunde. Ze worden ondermeer gebruikt voor het uitrekenen van ingewikkelde integralen en het oplossen van differentiaalvergelijkingen. Kwantummechanica is ondenkbaar zonder complexe getallen. Ook in heel praktische zaken zoals de elektriciteitsleer zijn ze erg nuttig.

Bij complexe getallen wordt er veel gerekend met de wortel uit -1. Dit wordt ook wel het getal i genoemd. Maar, als i de wortel uit -1 is, dan zal het kwadraat van i gelijk zijn aan -1. Vreemd! Voor gewone getallen geldt namelijk dat hun kwadraten positief zijn. Wiskundigen kwamen wortels uit negatieve getallen voor het eerst tegen in de zestiende eeuw. Dit gebeurde bij het oplossen van de formule van Cardano (een soort abc-formule voor de derdegraadsvergelijking). Als ze met die formule netjes doorrekenden wanneer ze de wortel uit een negatief getal tegenkwamen, dan kregen ze soms toch een antwoord met gewone getallen.

De algemene vergelijking x³ + px + q = 0 heeft als oplossing x = A + B waarbij A gelijk is aan en B gelijk is aan. Door nu p = -6 en q = 4 in te vullen, vind je A = en B =. Dit is het moment waar voor wiskundigen uit de zestiende eeuw de problemen begonnen, want ze zitten opgescheept met de wortel uit -4. Met stug rekenwerk volgt echter dat: A = 1 + i en B = 1 - i. Door A en B nu bij elkaar op te tellen vallen i en -i tegen elkaar weg en blijft er 2 over. We hebben zo de oplossing x = 2 gevonden. Met een staartdeling volgt dat x³ - 6x + 4 gedeeld door x - 2 gelijk is aan x² + 2x - 2.

Het kwadraat van een gewoon getal is positief. Dit komt doordat min keer min plus wordt, plus keer plus blijft natuurlijk plus. Hierdoor is het duidelijk dat de wortel uit -1 geen gewoon getal is. Wiskundigen zeggen dat de wortel uit -1 niet in de verzameling van de gewone getallen zit, hij bestaat niet in die verzameling. Daarom noemde men deze wortels uit negatieve getallen imaginaire getallen.

Vermoedelijk is dat ook de reden dat gekozen is voor de letter i om de wortel uit -1 aan te duiden. Op het eerste gezicht lijkt het heel vreemd dat wiskundigen zomaar aannemen dat de wortel uit -1 bestaat. Eenzelfde soort probleem deed zich voort bij de invoering van de negatieve getallen. Heel lang weigerden mensen daarmee te rekenen, omdat negatieve getallen ‘onnatuurlijk’ waren. Het is niet vreemd om te denken dat negatieve getallen niet kunnen bestaan. Iemand kan toch geen -3 peren hebben, en de afstand van Amsterdam naar Rotterdam kan toch geen -45 kilometer zijn?

Toch zijn er ook situaties waarbij negatieve getallen een nuttige rol kunnen spelen. Rood staan bij de bank bijvoorbeeld. Dat is niet alleen erg vervelend, maar het betekent ook dat je een negatief saldo hebt. In deze context zijn negatieve getallen bruikbaar en erg nuttig. Net zo als negatieve getallen in een bepaalde context erg handig zijn, zijn imaginaire getallen dat ook. Mede daarom is de wortel uit -1 gedefinieerd.

Het blijkt voldoende te zijn om alleen maar de wortel uit -1 te definiëren om alle imaginaire getallen te krijgen. De wortel uit -5 is dan gewoon de wortel uit -1 × 5 en dat is weer gelijk aan √-1 × √5 = i√5. Om op een zinnige manier met de wortel uit -1 om te gaan zijn de complexe getallen geconstrueerd. Een complex getal is een getal van de vorm a + bi, waar a en b gewone getallen zijn. De imaginaire getallen zijn dan de getallen met a = 0, de gewone getallen zijn de getallen met b = 0.

De reële getallen kun je zien als getallen die op een lijn liggen, de positieve getallen rechts van nul en de negatieve getallen links van nul. Op deze lijn is geen plaats meer voor het getal i, laat staan voor alle andere complexe getallen. Complexe getallen worden daarom weergegeven in een vlak, het complexe vlak. De verticale as is de imaginaire as en de horizontale as is de reële as. Een getal a + bi heeft dan coördinaten (a, b) in het complexe vlak.

Met complexe getallen kunnen we, net als bij de gewone getallen, optellen, vermenigvuldigen, delen en aftrekken. Hiervoor moesten natuurlijk rekenregels bedacht worden, net als bij de invoering van de negatieve getallen. De rekenregels voor de complexe getallen zijn afkomstig van de Italiaanse wiskundige Rafael Bombelli (1526-1572).

Optellen en Vermenigvuldigen in het Complexe Vlak

We nemen v = 3 + i, w = 1 + 2i en willen v + w berekenen. In het complexe vlak is het optellen hetzelfde als het optellen van vectoren. Dit gaat heel makkelijk met de Parallellogrammethode. Er volgt dan dat v + w = 4 + 3i.

We hebben nu v = 1 + i, w = 1 + 2i en we willen v en w met elkaar vermenigvuldigen. Je kunt ook op een andere manier werken. In het vlak maken v en w een hoek (in radialen) met de reële as, dit zijn 0,785 en 1,11 Ze hebben een afstand tot de oorsprong, dit zijn (denk aan de stelling van Pythagoras) √2 en √5. Bij vermenigvuldiging worden de twee hoeken opgeteld en de afstanden vermenigvuldigd.

Zonder complexe getallen heeft een kwadratische vergelijking geen oplossingen als de discriminant D, van de abc-formule, kleiner is dan nul. Zo is bijvoorbeeld de vergelijking x² + 4x + 5 = 0 niet op te lossen met gewone getallen, want D = -4. In de complexe getallen is het wel mogelijk om de wortel uit een negatief getal te trekken. De complexe oplossingen zijn: x = i - 2 en x = -i - 2. Dus is deze vergelijking oplosbaar. Sterker nog: elke kwadratische vergelijking is oplosbaar.

Dit is een speciaal geval van de hoofdstelling van de algebra. Die zegt dat elke n-de graads veeltermvergelijking (dit is een vergelijking van de vorm a0 + a1x + a2x2 + … + anxn = 0, waarbij alle ai’s complexe getallen zijn.) precies n oplossingen heeft in de complexe getallen.

Met complexe getallen is het niet meer nodig om gonioformules uit je hoofd te leren. Dit komt door de formule van Euler. Dot is een uitdrukking waar de complexe e-macht en de cosinus en de sinus samenkomen: eiy = cos(y) + i sin(y). Als je nu in de formule van Euler de waarde p invult voor y, dan volgt de beroemde identiteit van Euler: eip + 1 = 0.

Wortel Berekenen

De wortel berekenen van een bepaald getal zoals 9 of 16? De wortel van 9 is 3, zoals de wortel van 16 = 4. De Wortel berekenen oftewel "worteltrekken" is iets dat we moeilijk uit ons hoofd kunnen. We maken daarvoor gebruik van rekenmachines en online tools. We zorgen er met de online tool voor dat je eenvoudig de wortel kunt berekenen van een willekeurig getal. Als we de wortel berekenen spreken we van ‘wortel trekken’. Het is een van de handelingen die we bijna als eerste doen wanneer we een som voor ons hebben met verschillende uitdagingen. Het trekken van de wortel komt na het machtsverheffen, vermenigvuldigen en delen.

Het betekent dat het gaat om een belangrijke handeling, op basis waarvan we een som kunnen uitrekenen. Als je de wortel wilt berekenen van een kwadraat is dat daarom relatief eenvoudig. We lieten al zien dat de wortel van 9 gewoon 3 is. Andersom is 9 het kwadraat van 3, waardoor je de samenhang tussen de beide elementen kunt zien. Dat betekent bijvoorbeeld ook dat het kwadraat van 5 25 is. De wortel van 25 is op die manier dus 5. Uiteraard wordt het lastiger wanneer we de wortel van bijvoorbeeld 144 willen berekenen. Naarmate de getallen groter worden wordt het interessant om gebruik te maken van een geavanceerde rekenmachine of onze handige online tool.

Wortel Berekenen in Excel

Excel is een krachtig programma voor het uitvoeren van complexe berekeningen. Het kan ook worden gebruikt om wortelberekeningen uit te voeren. Excel zal automatisch de wortel berekenen van het getal dat je hebt ingevoerd en het resultaat in de geselecteerde cel weergeven. Met deze eenvoudige formule kunt je snel en nauwkeurig wortelberekeningen uitvoeren in Excel.

Als je geen toegang hebt tot Excel of als je liever een rekenmachine gebruikt, kun je toch nauwkeurige wortelberekeningen uitvoeren. Als je de wortel van een negatief getal wilt berekenen, zorg er dan voor dat je rekenmachine deze functionaliteit ondersteunt. Als jouw rekenmachine wetenschappelijke notatie ondersteunt, kun je de wortel van grotere of kleinere getallen berekenen. In wetenschappelijke notatie wordt een getal weergegeven als een coëfficiënt vermenigvuldigd met 10 tot een bepaalde macht. Als je bijvoorbeeld de wortel van 6,25 x 10² wilt berekenen, tikt je 6.25 in, drukt je op de "x10x" knop en voert je het getal van de macht in, in dit geval 2.

Wil je online de wortel berekenen van een bepaald getal en gaat het niet om een kwadraat? De wortel van 22 is bijvoorbeeld (ongeveer) 4,69. Dat is een rekensom die we helaas niet uit ons hoofd kunnen maken, omdat we ook het kwadraat van dit getal niet zomaar kunnen berekenen. In die situaties kun je online de wortel berekenen, zodat je binnen een paar tellen kunt wortel trekken en je geen fouten zal maken in de berekeningen die je doet.

Rekenregels

Wil jij je kind graag helpen met de rekenregels? Of weet je zelf nog niet precies wat de rekenregels zijn? Lees dan dit artikel. Rekenregels. De naam zegt het al: het zijn regels die je gebruikt bij het rekenen. Op de basisschool hebben rekenregels vaak iets te maken met de volgorde of de manier waarop je een som moet uitrekenen tijdens hoofdrekenen. Hieronder bespreken we eerst een heel belangrijke rekenvolgorde. Die geldt voor alle sommen die uit het hoofd moeten worden uitgerekend.

Al sinds de 17e eeuw werken wiskundigen met de zogenaamde rekenvolgorde. De rekenvolgorde is door de eeuwen heen wel wat veranderd. Tot eind vorige eeuw dus. Toen is in Nederland besloten om mee te gaan met de internationale rekenregels. Als je tegenwoordig sommen uitrekent, houd je dus een andere volgorde aan.

Op de basisschool wordt nog niet vaak gewerkt met machten en wortels van getallen. Het meest opvallend is dat de volgorde veranderd is. Bij ‘Meneer Van Dalen’ ging je pas worteltrekken nadat je vermenigvuldigd en gedeeld had. Tegenwoordig staan machtsverheffen en worteltrekken op dezelfde hoogte in de volgorde, nog vóór vermenigvuldigen en delen. Dat betekent dat machtsverheffen en worteltrekken even belangrijk zijn.

Ook als in een som zowel vermenigvuldigd als gedeeld moet worden, zijn die 2 acties even belangrijk. Tegenwoordig krijgt je kind meestal sommen voorgeschoteld die verwerkt zitten in een verhaaltje; een context. We hebben het dan over de redactiesommen. Welk ezelsbruggetje je kind het liefst gebruikt, is aan hem.

Naast de bovenstaande rekenvolgorde bestaan er nog andere rekenregels. De uitgebreide uitleg van deze rekenregels vind je in ons algemene artikel over breuken.

Breuken

Breuken bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken gaat niet altijd zomaar. Vind je breuken gelijknamig maken moeilijk? Breuken met elkaar vermenigvuldigen is simpeler dan het lijkt. Nu maken we het wat lastiger: wat als je breuken door elkaar moet delen? Als je breuken door elkaar wilt delen, vermenigvuldig je met het omgekeerde.

Vind je kind bepaalde rekensommen erg lastig? Kijk dan altijd of je een standaard rekenregel kunt toepassen. De kans is groot dat je kind met die rekenregels ineens wél begrijpt hoe het bepaalde sommen moet oplossen.

labels:

Zie ook: