Wortels zijn niet alleen gezond en lekker om te eten, maar ze vormen ook een belangrijk onderdeel van de wiskunde. In dit artikel lees je meer over wortelverbanden en leer je hoe je met wortels rekent.
Wat is een vierkantswortel?
Een vierkantswortel is het tegenovergestelde van een kwadraat. Het nemen van een vierkantswortel van een getal is dan ook het tegenovergestelde van het kwadraat nemen van een getal. Zo is 3 in het kwadraat bijvoorbeeld 9 (32 = 9), dus de vierkantswortel van 9 is 3. Vierkantswortels zijn de bekendste soort wortels. Deze vierkantswortel kun je op de meeste rekenmachines vinden, zeker op de grafische rekenmachines die je tijdens het eindexamen mag gebruiken.
Vergeet hierbij niet dat elk getal eigenlijk twee vierkantswortels heeft. Voorbeeld: 3 vermenigvuldigd met 3 is gelijk aan negen (32 = 9) maar -3 vermenigvuldigd met -3 is ook gelijk aan negen (-3)2 = 9. Met andere woorden: 32 = (−3)2 = 9, maar ook √9 = ± 3, waarbij de ± staat voor 'plus of min'.
Vierkantswortels vereenvoudigen
Hetgeen wat een belangrijke vaardigheid is en vaak als moeilijk wordt ervaren is het vereenvoudigen van vierkantswortels. Echter, je hoeft maar enkele eenvoudige regels te onthouden om dit soort problemen op te lossen. Vierkantswortels kunnen namelijk op dezelfde manier worden ontbonden als gewone getallen. Kijk maar: 6 = 2 × 3, dus √6 = √2 × √3. Houd dus ook altijd de algemene voorrangsregels in de wiskunde in het achterhoofd.
Nu was het voorbeeld hierboven makkelijk, maar het kan natuurlijk ook voorkomen dat je met grotere getallen te maken krijgt. Het vereenvoudigen van grotere wortels, is het makkelijkst als je de wortel stap voor stap factoriseert.
Neem bijvoorbeeld √132. √132 is een grote wortel en het kan moeilijk te zien zijn wat je precies moet doen. Je kunt echter wel snel zien dat het getal deelbaar is door 2, dus je kunt √132 = √2 × √66 schrijven. Het getal 66 is echter ook deelbaar door 2, dus heb je nu: √2 × √66 = √2 × √2 × √33. In dit geval geeft een vierkantswortel van een getal vermenigvuldigd met een andere vierkantswortel (√2 × √2) het oorspronkelijke getal (dit is immers de betekenis van de vierkantswortel). Daarom geldt √132 = √2 × √2 × √33 = 2 × √33.
Kortom, kun je de vierkantswortels vereenvoudigen met behulp van de volgende regels:
- √ (a × b) = √a × √b
- √a × √a = a
Maar wat is dan de wortel van een negatief getal? Hiervoor is ook een oplossing! Die oplossing is namelijk het getal van i, ook wel imaginaire getal. Je hoeft dat niet te kennen voor het eindexamen, maar als je het interessant vindt kun je het eens online opzoeken.
Voorbeeld
Neem de formule y = √5x en zie onderstaande tabel. Door al de waarden van x in te vullen in de vergelijking, kunnen de waarden van y verkregen worden. Hieruit is het weer mogelijk om een grafiek te maken, door de verkregen coördinaten als een lijn met elkaar te verbinden. Die grafiek komt er dan als volgt uit te zien:
Als x = 0, geldt dat ook y = 0 is. Dit is duidelijk, omdat alles vermenigvuldigd met 0, ook 0 oplevert, en dit geldt ook voor wortels. Bij x = 5, geldt y = 5. Je vermenigvuldigt namelijk het getal 5 met zichzelf en je ziet dat je de wortel ervan moet nemen, wat dan dus 5 is.
| x | y |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 2,24 |
| 2 | 3,16 |
| 3 | 3,87 |
| 4 | 4,47 |
| 5 | 5 |
| 6 | 5,48 |
| 7 | 5,92 |
Voorbeelden van rekenen met wortels
- √12 = √2 × √6 = √2 × √2 × √3 = 2 × √3 = 3,4641
- √24 = √2 × √12 = √2 × √2 × √6 = 2 × √6 = 4,8990
- √36 = √2 × √18 = √2 × √2 × √9 = 2 × √9 = 2 × 3 = 6
- √72 = √2 × √36 = √2 × √4 × √9 = √2 × √2 × √2 × √9 = 2 × √2 × √9 = 6 × √2 = 8,4853
Andere wortels
Het komt ook wel eens voor dat je te maken hebt met een kubuswortel, oftewel een derdemachtswortel van een getal. Dus 33 = 27, en dat betekent dat de kubuswortel van 27 1/3 is, ofwel ∛27 = 3. Het symbool "∛" vertegenwoordigt de kubuswortel van het getal dat erna komt.
Net als vierkantswortels zijn deze precies het tegenovergestelde van de macht van getallen. Wortels worden soms ook uitgedrukt als fractionele machten, dus √x = x1/2 en ∛x = x1/3.
Alles over worteltrekken
Worteltrekken is het proces waarbij je een getal vindt dat, wanneer vermenigvuldigd met zichzelf, het oorspronkelijke getal oplevert. Dit wordt vaak toegepast in de wiskunde en meetkunde, bijvoorbeeld bij het berekenen van lengtes en oppervlakken.
Bekijk in de onderstaande tabel de wortels van de getallen 1 tot en met 100.
| Getal | Wortel | Getal | Wortel | Getal | Wortel | Getal | Wortel |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 26 | 5,09901951 | 51 | 7,14142843 | 76 | 8,71779789 |
| 2 | 1,41421356 | 27 | 5,19615242 | 52 | 7,21110255 | 77 | 8,77496439 |
| 3 | 1,73205081 | 28 | 5,29150262 | 53 | 7,28010989 | 78 | 8,83176087 |
| 4 | 2 | 29 | 5,38516481 | 54 | 7,34846923 | 79 | 8,88819442 |
| 5 | 2,23606798 | 30 | 5,47722558 | 55 | 7,41619849 | 80 | 8,94427191 |
| 6 | 2,44948974 | 31 | 5,56776436 | 56 | 7,48331477 | 81 | 9 |
| 7 | 2,64575131 | 32 | 5,65685425 | 57 | 7,54983444 | 82 | 9,05538514 |
| 8 | 2,82842712 | 33 | 5,74456265 | 58 | 7,61577311 | 83 | 9,11043358 |
| 9 | 3 | 34 | 5,83095189 | 59 | 7,68114575 | 84 | 9,16515139 |
| 10 | 3,16227766 | 35 | 5,91607978 | 60 | 7,74596669 | 85 | 9,21954446 |
| 11 | 3,31662479 | 36 | 6 | 61 | 7,81024968 | 86 | 9,27361858 |
| 12 | 3,46410162 | 37 | 6,08276253 | 62 | 7,87400787 | 87 | 9,32737905 |
| 13 | 3,60555128 | 38 | 6,16441439 | 63 | 7,93725393 | 88 | 9,38083152 |
| 14 | 3,74165739 | 39 | 6,244998 | 64 | 8 | 89 | 9,43398113 |
| 15 | 3,87298335 | 40 | 6,32455532 | 65 | 8,06225775 | 90 | 9,48683298 |
| 16 | 4 | 41 | 6,40312424 | 66 | 8,1240384 | 91 | 9,53939201 |
| 17 | 4,12310563 | 42 | 6,4807407 | 67 | 8,18535277 | 92 | 9,59166305 |
| 18 | 4,24264069 | 43 | 6,55743852 | 68 | 8,24621125 | 93 | 9,64365076 |
| 19 | 4,35889894 | 44 | 6,63324958 | 69 | 8,30662386 | 94 | 9,69535971 |
| 20 | 4,47213595 | 45 | 6,70820393 | 70 | 8,36660027 | 95 | 9,74679434 |
| 21 | 4,58257569 | 46 | 6,78232998 | 71 | 8,42614977 | 96 | 9,79795897 |
| 22 | 4,69041576 | 47 | 6,8556546 | 72 | 8,48528137 | 97 | 9,8488578 |
| 23 | 4,79583152 | 48 | 6,92820323 | 73 | 8,54400375 | 98 | 9,89949494 |
| 24 | 4,89897949 | 49 | 7 | 74 | 8,60232527 | 99 | 9,94987437 |
| 25 | 5 | 50 | 7,07106781 | 75 | 8,66025404 | 100 | 10 |
Veelgestelde vragen
Worteltrekken is het proces van het vinden van een getal dat, wanneer vermenigvuldigd met zichzelf, het originele getal oplevert. De wortel van 9 is bijvoorbeeld 3, omdat 3 x 3 = 9. Dit wordt ook wel het kwadraat van een getal genoemd.
Je kunt de wortel van een getal berekenen door een rekenmachine te gebruiken die een wortelfunctie heeft, of door gebruik te maken van een online rekentool zoals deze.
Hier zijn twee rekenvoorbeelden:
Voorbeeld 1:
Voor het getal 16:
De wortel van 16 is 4, omdat 4 x 4 = 16.
Voorbeeld 2:
Voor het getal 15:
De wortel van 15 is ongeveer 3,87, omdat 3,873 x 3,873 = 15.
De wortel van 9 is 3, omdat 3 x 3 = 9. Dit betekent dat 3 het getal is dat vermenigvuldigd met zichzelf het originele getal 9 oplevert.
Online de wortel berekenen
De wortel berekenen van een bepaald getal zoals 9 of 16? De wortel van 9 is 3, zoals de wortel van 16 = 4. De Wortel berekenen oftewel "worteltrekken" is iets dat we moeilijk uit ons hoofd kunnen. We maken daarvoor gebruik van rekenmachines en online tools. We zorgen er met de online tool voor dat je eenvoudig de wortel kunt berekenen van een willekeurig getal.
Als we de wortel berekenen spreken we van ‘wortel trekken’. Het is een van de handelingen die we bijna als eerste doen wanneer we een som voor ons hebben met verschillende uitdagingen. Het trekken van de wortel komt na het machtsverheffen, vermenigvuldigen en delen.
Het betekent dat het gaat om een belangrijke handeling, op basis waarvan we een som kunnen uitrekenen. Als je de wortel wilt berekenen van een kwadraat is dat daarom relatief eenvoudig. We lieten al zien dat de wortel van 9 gewoon 3 is. Andersom is 9 het kwadraat van 3, waardoor je de samenhang tussen de beide elementen kunt zien. Dat betekent bijvoorbeeld ook dat het kwadraat van 5 25 is. De wortel van 25 is op die manier dus 5.
Uiteraard wordt het lastiger wanneer we de wortel van bijvoorbeeld 144 willen berekenen. Naarmate de getallen groter worden wordt het interessant om gebruik te maken van een geavanceerde rekenmachine of onze handige online tool.
Wortelberekeningen in Excel
Excel is een krachtig programma voor het uitvoeren van complexe berekeningen. Het kan ook worden gebruikt om wortelberekeningen uit te voeren. Excel zal automatisch de wortel berekenen van het getal dat je hebt ingevoerd en het resultaat in de geselecteerde cel weergeven. Met deze eenvoudige formule kunt je snel en nauwkeurig wortelberekeningen uitvoeren in Excel.
Wortel berekenen met een rekenmachine
Als je geen toegang hebt tot Excel of als je liever een rekenmachine gebruikt, kun je toch nauwkeurige wortelberekeningen uitvoeren. Als je de wortel van een negatief getal wilt berekenen, zorg er dan voor dat je rekenmachine deze functionaliteit ondersteunt. Als jouw rekenmachine wetenschappelijke notatie ondersteunt, kun je de wortel van grotere of kleinere getallen berekenen. In wetenschappelijke notatie wordt een getal weergegeven als een coëfficiënt vermenigvuldigd met 10 tot een bepaalde macht. Als je bijvoorbeeld de wortel van 6,25 x 10² wilt berekenen, tikt je 6.25 in, drukt je op de "x10x" knop en voert je het getal van de macht in, in dit geval 2.
Hoe wordt worteltrekken toegepast?
Bij worteltrekken zoek je als uitkomst het getal dat in het kwadraat het getal van de opgave is. Worteltrekken is het tegenovergestelde van kwadrateren, net zoals plus het tegenovergestelde van min is en keer het tegenovergestelde van gedeeld door. Een kwadraat is een getal keer zichzelf, bijvoorbeeld 42=16. Bij worteltrekken wil je weten welk getal je met zichzelf kan vermenigvuldigen om dat antwoord te krijgen. Je schrijft een wortel met het teken √. Een som schrijf je op als: √25=5.
Een wortel is namelijk het tegenovergestelde van een kwadraat, maar er bestaan ook machtswortels! Bijvoorbeeld 3√2 is de tegenhanger van 2(1/3), 10√2 is de tegenhanger van 2(1/10). Je kan de wortels berekenen met je rekenmachine. Bij een machtswortel moet je invoeren om welke macht het gaat, voor een vierkantswortel kan je het wortelknopje gebruiken.
De wortel van een negatief getal
Er is één heel belangrijke regel die je goed moet onthouden over worteltrekken. De wortel van een negatief getal bestaat niet. Dit komt omdat er geen getal bestaat waarvan het kwadraat een negatief getal is. Dus $$\sqrt{-16}$$ bestaat niet, maar let wel goed op, want $$-\sqrt{16} = -4$$ bestaat wel.
Worteltrekken en de rekenvolgorde
De meeste wortels komen jammer genoeg niet uit op hele getallen. Met de introductie van de wortel wordt de rekenvolgorde gewijzigd. Als er een som onder het wortelteken staat, dan moet je dit zien alsof er haakjes omheen staan. Het gedeelte onder de wortel reken je dus als eerste uit, voordat je gaat worteltrekken.
De wortel van 337 berekenen
Om dat te weten te komen kun je kijken welke twee getallen met elkaar vermenigvuldigt 337 geven. We beginnen met een vermenigvuldiging die niet zo moeilijk is: 20 x 20. Dat geeft als antwoord: 400. De wortel van 337 is kleiner dan 20. Laten we nog een vermenigvuldiging doen die niet zo moeilijk is: 15 x 15. De wortel van 337 is groter dan 15. We gaan eens kijken of de wortel misschien 18 is. Als je 18 x 18 uitrekent dan krijg je als antwoord: 324. De wortel van 337 is groter dan 18. Nog een getal hoger proberen: 19 x 19. De wortel van 337 is kleiner dan 19. De wortel van 337 ligt dus ergens tussen 18 en 19.
Laten we eens proberen of de wortel van 337 misschien 18,5 is. (18,5 x 18,5 = 342,25). Dat is nog steeds hoger dan 337. Doen we nog een vermenigvuldiging: 18,3 x 18,3. Daarvan is de uitkomst: 334,89. Dat is dus te laag. Doen we nog een vermenigvuldiging: 18,4 x 18,4. Daarvan is de uitkomst: 338,56. Dat is dus te hoog. Doen we nog een vermenigvuldiging: 18,35 x 18,35. Daarvan is de uitkomst: 336,7225. Dat is bijna 337. De wortel ligt dus in de buurt van de 18,35. Laten we voor de zekerheid nog eens 18,36 x 18,36 doen. Daarvan is de uitkomst: 337,0896. Dat is net iets meer dan 337. De laatste vermenigvuldiging die we doen is: 18,358 x 18,358. Daarvan is de uitkomst: 337,016164. Die uitkomst is afgerond bijna gelijk aan 337. De wortel van 337 is dus ongeveer 18,358.
Staartworteltrekking
Behalve bovenstaande methode kun je het antwoord ook vinden met behulp van de zogeheten staartworteltrekking. Een soort staartdeling maar dan voor wortels. Het getal 'onder de wortel', 337, verdeel je vanaf rechts in vakjes van twee. Dan hebben we één vakje van twee en houden dus één vakje met één cijfer over, 3. Nu gaan we kijken wat het grootste kwadraat onder 3 is. 2 is te groot, want 2 kwadraat is 4. Dus is het 1 (want 1 is 1 kwadraat). Die schrijven we rechts van het = teken als begin van het antwoord waaraan we gaan bouwen. We trekken 1 van 3 af en houden 2 over. We halen twee cijfers (het eerste vakje van twee dus) van boven bij, voegen die achter de zojuist gevonden 2 en krijgen het getal 237.
Nu komt de grote truc, waar de methode om draait: we verdubbelen de gevonden 1 achter het = teken (wordt dus 2) en maken daar een vermenigvuldiging van: 2 _ x _. Vervolgens gaan we kijken wat het grootste getal is dat we met die vermenigvuldiging kunnen maken dat kleiner is dan 237 door op de plaats van de streepjes hetzelfde cijfer te zetten. Dat is 224, want 28 x 8 = 224, dus op de plaats van de streepjes komt 8. Het verschil is 13. Maar daarmee komt de som nog niet uit, dus krijgen we een tiendelige breuk als antwoord. We halen nu twee nullen van boven bij (want 337 is eigenlijk 337,00000 enz.) en vinden 1300.
labels:
