Wortels zijn een belangrijk onderdeel van de wiskunde. In dit artikel leer je meer over wortelverbanden en hoe je met wortels rekent.

Wat is een Vierkantswortel?

Een vierkantswortel is het tegenovergestelde van een kwadraat. Het nemen van een vierkantswortel van een getal is dan ook het tegenovergestelde van het kwadraat nemen van een getal. Zo is 3 in het kwadraat bijvoorbeeld 9 (32 = 9), dus de vierkantswortel van 9 is 3. Vierkantswortels zijn de bekendste soort wortels. Deze vierkantswortel kun je op de meeste rekenmachines vinden, zeker op de grafische rekenmachines die je tijdens het eindexamen mag gebruiken.

Vergeet hierbij niet dat elk getal eigenlijk twee vierkantswortels heeft. Voorbeeld: 3 vermenigvuldigd met 3 is gelijk aan negen (32 = 9) maar -3 vermenigvuldigd met -3 is ook gelijk aan negen (-3)2 = 9. Met andere woorden: 32 = (−3)2 = 9, maar ook √9 = ± 3, waarbij de ± staat voor 'plus of min'.

Vierkantswortels Vereenvoudigen

Hetgeen wat een belangrijke vaardigheid is en vaak als moeilijk wordt ervaren is het vereenvoudigen van vierkantswortels. Vierkantswortels kunnen namelijk op dezelfde manier worden ontbonden als gewone getallen. Kijk maar: 6 = 2 × 3, dus √6 = √2 × √3. Houd dus ook altijd de algemene voorrangsregels in de wiskunde in het achterhoofd.

Nu was het voorbeeld hierboven makkelijk, maar het kan natuurlijk ook voorkomen dat je met grotere getallen te maken krijgt. Het vereenvoudigen van grotere wortels, is het makkelijkst als je de wortel stap voor stap factoriseert.

Neem bijvoorbeeld √132. √132 is een grote wortel en het kan moeilijk te zien zijn wat je precies moet doen. Je kunt echter wel snel zien dat het getal deelbaar is door 2, dus je kunt √132 = √2 × √66 schrijven. Het getal 66 is echter ook deelbaar door 2, dus heb je nu: √2 × √66 = √2 × √2 × √33. In dit geval geeft een vierkantswortel van een getal vermenigvuldigd met een andere vierkantswortel (√2 × √2) het oorspronkelijke getal (dit is immers de betekenis van de vierkantswortel). Daarom geldt √132 = √2 × √2 × √33 = 2 × √33.

Kortom, kun je de vierkantswortels vereenvoudigen met behulp van de volgende regels:

  • √ (a × b) = √a × √b
  • √a × √a = a

Maar wat is dan de wortel van een negatief getal? Hiervoor is ook een oplossing! Die oplossing is namelijk het getal van i, ook wel imaginaire getal. Je hoeft dat niet te kennen voor het eindexamen, maar als je het interessant vindt kun je het eens online opzoeken.

Voorbeeld

Neem de formule y = √5x en zie onderstaande tabel.

x y
0 0
1 2,24
2 3,16
3 3,87
4 4,47
5 5
6 5,48
7 5,92

Als x = 0, geldt dat ook y = 0 is. Dit is duidelijk, omdat alles vermenigvuldigd met 0, ook 0 oplevert, en dit geldt ook voor wortels. Bij x = 5, geldt y = 5. Je vermenigvuldigt namelijk het getal 5 met zichzelf en je ziet dat je de wortel ervan moet nemen, wat dan dus 5 is. Door al de waarden van x in te vullen in de vergelijking, kunnen de waarden van y verkregen worden. Hieruit is het weer mogelijk om een grafiek te maken, door de verkregen coördinaten als een lijn met elkaar te verbinden.

Voorbeelden van Rekenen met Wortels

  • √12 = √2 × √6 = √2 × √2 × √3 = 2 × √3 = 3,4641
  • √24 = √2 × √12 = √2 × √2 × √6 = 2 × √6 = 4,8990
  • √36 = √2 × √18 = √2 × √2 × √9 = 2 × √9 = 2 × 3 = 6
  • √72 = √2 × √36 = √2 × √4 × √9 = √2 × √2 × √2 × √9 = 2 × √2 × √9 = 6 × √2 = 8,4853

Andere Wortels

Het komt ook wel eens voor dat je te maken hebt met een kubuswortel, oftewel een derdemachtswortel van een getal. Net als vierkantswortels zijn deze precies het tegenovergestelde van de macht van getallen. Dus 33 = 27, en dat betekent dat de kubuswortel van 271/3 is, ofwel ∛27 = 3. Het symbool "∛" vertegenwoordigt de kubuswortel van het getal dat erna komt.

Wortels worden soms ook uitgedrukt als fractionele machten, dus √x = x1/2 en ∛x = x1/3.

Rekenen met Breuken, Machten en Wortels

Je kunt breuken, machten en wortels heel makkelijk omzetten. Je mag dit alleen gebruiken om een functie op te lossen, omdat de uitkomsten voor negatieve waarden van x kunnen afwijken.

Machten

Rekenen met machten

  • Vermenigvuldigen:
  • Delen:
  • Machtsverheffen:
  • Optellen en aftrekken:

Let op! Je mag nooit twee getallen met verschillende machten optellen of aftrekken.

Rekenen met Wortels

Je kunt bij wortels gewoon rekenen net zoals bij alle andere getallen zolang de macht van de wortels hetzelfde zijn. Vind een getal waarvan de wortel een heel getal is. Neem de wortel van de gevonden getallen uit stap 1 en schrijf deze voor het wortelteken.

Rekenen met Breuken

Het rekenen met breuken is best simpel. Vereenvoudig eventueel de breuk.

Delen:

  • Vermenigvuldig de buitenste twee getallen met elkaar.
  • Vermenigvuldig de binnenste twee getallen met elkaar.

Vereenvoudig de breuk indien mogelijk.

Rekenregels

De naam zegt het al: het zijn regels die je gebruikt bij het rekenen. Op de basisschool hebben rekenregels vaak iets te maken met de volgorde of de manier waarop je een som moet uitrekenen tijdens hoofdrekenen.

Die geldt voor alle sommen die uit het hoofd moeten worden uitgerekend. Misschien weet je nog wel dat je altijd eerst moet vermenigvuldigen voordat je gaat optellen. De uitkomst van de som is dus 29. Je telt dus niet eerst op, waarna je vermenigvuldigt. Dan zou je 8 x 8 = 64 krijgen.

De rekenvolgorde is door de eeuwen heen wel wat veranderd. Tot eind vorige eeuw dus. Toen is in Nederland besloten om mee te gaan met de internationale rekenregels.

De nieuwe rekenvolgorde:

  1. Haakjes
  2. Machtsverheffen en worteltrekken
  3. Vermenigvuldigen en delen
  4. Optellen en aftrekken

Op de basisschool wordt nog niet vaak gewerkt met machten en wortels van getallen. Het meest opvallend is dat de volgorde veranderd is. Bij ‘Meneer Van Dalen’ ging je pas worteltrekken nadat je vermenigvuldigd en gedeeld had. Tegenwoordig staan machtsverheffen en worteltrekken op dezelfde hoogte in de volgorde, nog vóór vermenigvuldigen en delen. Dat betekent dat machtsverheffen en worteltrekken even belangrijk zijn. Zijn in 1 som beide acties vereist?

Ook als in een som zowel vermenigvuldigd als gedeeld moet worden, zijn die 2 acties even belangrijk. Eerst reken je 8 : 4 uit. Daarna bereken je wat de uitkomst is van 2 x 2.

labels:

Zie ook: