Wortels zijn natuurlijk gezond en lekker om te eten, maar wortels zijn ook een belangrijk onderdeel in de wiskunde. In dit artikel lees je meer over wortelverbanden en leer je hoe je met wortels rekent. Het is voor mij een erg goede manier om de leerstof voor toetsen te begrijpen.

Wat is een vierkantswortel?

Een vierkantswortel is het tegenovergestelde van een kwadraat. Het nemen van een vierkantswortel van een getal is dan ook het tegenovergestelde van het kwadraat nemen van een getal. Zo is 3 in het kwadraat bijvoorbeeld 9 (32 = 9), dus de vierkantswortel van 9 is 3. Vierkantswortels zijn de bekendste soort wortels.

Deze vierkantswortel kun je op de meeste rekenmachines vinden, zeker op de grafische rekenmachines die je tijdens het eindexamen mag gebruiken.

Vergeet hierbij niet dat elk getal eigenlijk twee vierkantswortels heeft. Voorbeeld: 3 vermenigvuldigd met 3 is gelijk aan negen (32 = 9) maar -3 vermenigvuldigd met -3 is ook gelijk aan negen (-3)2 = 9. Met andere woorden: 32 = (−3)2 = 9, maar ook √9 = ± 3, waarbij de ± staat voor 'plus of min'.

Vierkantswortels vereenvoudigen

Hetgeen wat een belangrijke vaardigheid is en vaak als moeilijk wordt ervaren is het vereenvoudigen van vierkantswortels. Echter, je hoeft maar enkele eenvoudige regels te onthouden om dit soort problemen op te lossen. Vierkantswortels kunnen namelijk op dezelfde manier worden ontbonden als gewone getallen. Kijk maar: 6 = 2 × 3, dus √6 = √2 × √3. Houd dus ook altijd de algemene voorrangsregels in de wiskunde in het achterhoofd.

Nu was het voorbeeld hierboven makkelijk, maar het kan natuurlijk ook voorkomen dat je met grotere getallen te maken krijgt. Het vereenvoudigen van grotere wortels, is het makkelijkst als je de wortel stap voor stap factoriseert.

Neem bijvoorbeeld √132. √132 is een grote wortel en het kan moeilijk te zien zijn wat je precies moet doen. Je kunt echter wel snel zien dat het getal deelbaar is door 2, dus je kunt √132 = √2 × √66 schrijven. Het getal 66 is echter ook deelbaar door 2, dus heb je nu: √2 × √66 = √2 × √2 × √33. In dit geval geeft een vierkantswortel van een getal vermenigvuldigd met een andere vierkantswortel (√2 × √2) het oorspronkelijke getal (dit is immers de betekenis van de vierkantswortel). Daarom geldt √132 = √2 × √2 × √33 = 2 × √33.

Kortom, kun je de vierkantswortels vereenvoudigen met behulp van de volgende regels:

  • √ (a × b) = √a × √b
  • √a × √a = a

Maar wat is dan de wortel van een negatief getal? Hiervoor is ook een oplossing! Die oplossing is namelijk het getal van i, ook wel imaginaire getal. Je hoeft dat niet te kennen voor het eindexamen, maar als je het interessant vindt kun je het eens online opzoeken.

Voorbeeld

Neem de formule y = √5x en zie onderstaande tabel.

x y
0 0
1 2,24
2 3,16
3 3,87
4 4,47
5 5
6 5,48
7 5,92

Als x = 0, geldt dat ook y = 0 is. Dit is duidelijk, omdat alles vermenigvuldigd met 0, ook 0 oplevert, en dit geldt ook voor wortels. Bij x = 5, geldt y = 5. Je vermenigvuldigt namelijk het getal 5 met zichzelf en je ziet dat je de wortel ervan moet nemen, wat dan dus 5 is. Door al de waarden van x in te vullen in de vergelijking, kunnen de waarden van y verkregen worden. Hieruit is het weer mogelijk om een grafiek te maken, door de verkregen coördinaten als een lijn met elkaar te verbinden. Die grafiek komt er dan als volgt uit te zien:

Voorbeelden van rekenen met wortels

  • √12 = √2 × √6 = √2 × √2 × √3 = 2 × √3 = 3,4641
  • √24 = √2 × √12 = √2 × √2 × √6 = 2 × √6 = 4,8990
  • √36 = √2 × √18 = √2 × √2 × √9 = 2 × √9 = 2 × 3 = 6
  • √72 = √2 × √36 = √2 × √4 × √9 = √2 × √2 × √2 × √9 = 2 × √2 × √9 = 6 × √2 = 8,4853

Andere wortels

Het komt ook wel eens voor dat je te maken hebt met een kubuswortel, oftewel een derdemachtswortel van een getal. Net als vierkantswortels zijn deze precies het tegenovergestelde van de macht van getallen. Dus 33 = 27, en dat betekent dat de kubuswortel van 271/3 is, ofwel ∛27 = 3. Het symbool "∛" vertegenwoordigt de kubuswortel van het getal dat erna komt.

Wortels worden soms ook uitgedrukt als fractionele machten, dus √x = x1/2 en ∛x = x1/3.

De wortel berekenen: Wat is wortel berekenen?

De wortel berekenen is een vaardigheid die je in verschillende situaties van pas komt. Het stelt je in staat om de “tegenovergestelde” operatie van machtsverheffen uit te voeren. Terwijl het machtsverheffen een getal een bepaald aantal keren vermenigvuldigt met zichzelf, neemt de wortel een getal en vindt het de waarde die, wanneer vermenigvuldigd met zichzelf, het oorspronkelijke getal oplevert. Ingewikkeld? Laten we er eens beter naar kijken.

Basics van wortels

Om wortels beter te begrijpen, helpt het om te denken aan een vierkant. Elke zijde van het vierkant heeft dezelfde lengte, die de wortel van het totale aantal vierkanten in het vierkantsoppervlak is. Bijvoorbeeld, als we een vierkant hebben met 9 vierkanten erin, dan is de wortel van 9 gelijk aan 3, omdat 3 × 3 = 9.

Wortels worden meestal aangeduid met het √-symbool, gevolgd door het getal waarvan de wortel wordt genomen. Het √-symbool wordt de wortelradicaal genoemd.

Verschillende soorten wortels

De meest voorkomende wortel is de vierkantswortel, waarbij de wortel van een getal de waarde is die, wanneer vermenigvuldigd met zichzelf, het oorspronkelijke getal oplevert. Bijvoorbeeld, de vierkantswortel van 25 is 5, omdat 5 × 5 = 25.

Naast de vierkantswortel heb je ook de derdemachtswortel, de vierdemachtswortel enzovoort. De derdemachtswortel van een getal vind je door te kijken naar welk getal, drie keer vermenigvuldigd met zichzelf, het oorspronkelijke getal oplevert. De negatieve wortel heeft dezelfde absolute waarde als de positieve wortel, maar het teken is tegengesteld. Dit wordt aangeduid met een minteken voor de wortelradicaal. Bijvoorbeeld, de negatieve vierkantswortel van 25 is -5, omdat -5 × -5 = 25.

Hoe kun je handmatig de wortel berekenen?

Als je geen rekenmachine bij de hand hebt en je moet een wortel berekenen, dan zijn er gelukkig nog enkele methoden die je kunt gebruiken. We zullen de traditionele methode en het vereenvoudigen van wortels bespreken.

De traditionele methode

De traditionele methode om een wortel handmatig te berekenen, is om de wortel te schatten door middel van een reeks schattingen en correcties. Deze methode kan tijdrovend zijn, maar kan effectief zijn als je geen andere optie hebt.

Vereenvoudigen van wortels

Een andere manier om handmatig de wortel te berekenen, is door gebruik te maken van de eigenschappen van wortels. Deze methode is handig wanneer je te maken hebt met wortels die kunnen worden vereenvoudigd.

Om een wortel te vereenvoudigen, zoek je naar factoren in het getal onder de wortel die perfecte kwadraten zijn. Stel dat je de wortel van 100 wilt berekenen, dan kun je zien dat 100 gelijk is aan 102.

Je kunt de wortel van 102 schrijven als de wortel van 10 maal de wortel van 10. De wortel van 10 is ongeveer 3,16. Dus de wortel van 100 is gelijk aan 10 maal 3,16, oftewel 31,6.

Hoe gebruik je een rekenmachine voor wortels?

Als je snel en nauwkeurig wortels wilt berekenen, kan een rekenmachine een handig hulpmiddel zijn. Er zijn verschillende manieren om een rekenmachine te gebruiken voor het berekenen van wortels, afhankelijk van het type rekenmachine dat je hebt. Hieronder worden twee veelvoorkomende typen rekenmachines besproken: standaard rekenmachines en grafische rekenmachines.

De worteltoets op standaard rekenmachines

Op de meeste standaard rekenmachines is een speciale worteltoets aanwezig, vaak aangeduid met het symbool √ of ‘sqrt’. Door deze toets te gebruiken, kun je snel de wortel van een getal berekenen.

  1. Druk op de worteltoets (√).
  2. Vervolgens typ je het getal waarvan je de wortel wilt berekenen.
  3. Sluit af met de ‘=’ knop.
  4. Het antwoord wordt weergegeven op het scherm van de rekenmachine.

Met de worteltoets op een standaard rekenmachine kun je gemakkelijk de vierkantswortel (de wortel met een machtsverheffing van 2) berekenen. Als je bijvoorbeeld de wortel van 25 wilt berekenen, druk je op de worteltoets en typ je ’25’, waarna je op ‘=’ drukt. De rekenmachine geeft dan ‘5’ als antwoord, omdat de wortel van 25 gelijk is aan 5.

Wortels berekenen met grafische rekenmachines

Grafische rekenmachines hebben vaak meer geavanceerde functies dan standaard rekenmachines. Bijvoorbeeld, als je de wortel wilt berekenen van het getal 16 tot de derde macht, zou je moeten typen: √(16^3).

Na het typen van de formule druk je op de ‘=’ knop om de berekening uit te voeren. De rekenmachine zal de wortel berekenen en het antwoord op het scherm weergeven.

Door het gebruik van een grafische rekenmachine kun je niet alleen snel en nauwkeurig de wortel berekenen van getallen met willekeurige machtsverheffing, maar je kunt ook andere complexe berekeningen uitvoeren die verder gaan dan de basisfuncties van een standaard rekenmachine.

Wortels in de praktijk

Als je denkt aan wortels, denk je misschien aan wiskundelessen op school, waar je eindeloos wortels aan het berekenen bent. Maar wist je dat wortels in de praktijk ook veel nut hebben? Ze worden gebruikt in verschillende vakgebieden, zoals geometrie en natuurkunde. Laten we eens kijken hoe wortels worden toegepast in deze disciplines.

Wortels gebruiken in de geometrie

In de geometrie worden wortels gebruikt om de lengtes van zijden van driehoeken of andere veelhoeken te berekenen. Stel je voor dat je een driehoek hebt waarvan je twee zijden al kent, maar je wilt de derde zijde berekenen. Hier komt de wortel van pas.

Met behulp van de stelling van Pythagoras kun je de lengte van de ontbrekende zijde berekenen. Deze stelling luidt dat de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk is aan het kwadraat van de schuine zijde. Door de pythagoreïsche formule te gebruiken, kun je de formule oplossen om de lengte van de ontbrekende zijde te vinden. Vaak moet je hiervoor de wortel nemen van een getal om de exacte lengte te krijgen.

Wortels worden ook gebruikt bij het berekenen van de afstanden tussen punten op een coördinatensysteem. Dit is handig wanneer je bijvoorbeeld de afstand tussen twee steden op een kaart wilt berekenen.

Toepassingen in de natuurkunde

Naast geometrie worden wortels ook veel gebruikt in de natuurkunde. In de natuurkunde gaat het vaak om het maken van berekeningen op basis van metingen en formules. En bij deze berekeningen komt de wortel vaak om de hoek kijken.

Een van de bekendste toepassingen van wortels in de natuurkunde is de berekening van de snelheid. De formule voor de snelheid is afgeleid van de afstand die wordt afgelegd in een bepaalde tijd. Om de snelheid te bepalen, moet je de afstand delen door de tijd. Maar soms wil je weten hoe ver je kunt komen in een bepaalde tijd. In dat geval moet je de formule omkeren en de afstand berekenen op basis van de snelheid en de tijd. Bij deze berekening moet je de wortel nemen van het product van de snelheid en de tijd.

Daarnaast wordt wortelberekeningen gebruikt bij het berekenen van de kinetische energie van een object. Kinetische energie is de energie die een object heeft vanwege zijn beweging. De formule voor kinetische energie bevat de massa van het object en de snelheid van het object. Om de kinetische energie te berekenen, moet je de wortel nemen van het product van de massa en het kwadraat van de snelheid.

Tips en trucs voor wortel berekenen

Als je bezig bent met wortelberekeningen, zijn er enkele handige tips en trucs die je kunt gebruiken om het proces gemakkelijker en efficiënter te maken. Deze tips helpen je bij het identificeren van kwadraten en onthouden van veelvoorkomende wortelwaarden.

Makkelijke manieren om kwadraten te herkennen

Kwadraten zijn getallen die je kunt schrijven als een product van twee gelijke getallen. Bijvoorbeeld, het kwadraat van 4 is 16, omdat 4 x 4 = 16. Het herkennen van kwadraten kan handig zijn bij het vereenvoudigen van wortels. Hier zijn enkele eenvoudige manieren om kwadraten te herkennen:

  • Let op getallen die eindigen op 0, 1, 4, 5, 6, of 9. Deze getallen hebben vaak kwadraten die eindigen op 0, 1, 4, 5, 6, of 9.
  • Onthoud de kwadraten van de getallen 1 tot 10. Deze vaak voorkomende wortelwaarden kunnen je helpen bij het snel herkennen van kwadraten.
  • Let op getallen die je kunt delen door 2 zonder decimalen te krijgen. Deze getallen hebben vaak kwadraten die ook kunnen worden gedeeld door 2 zonder decimalen.

Geheugensteuntjes voor veelvoorkomende wortelwaarden

Er zijn enkele veelvoorkomende wortelwaarden die handig zijn om te onthouden. Deze waarden komen vaak voor in wiskundige berekeningen en kunnen je helpen bij het vereenvoudigen van wortels.

Breuken

Breuken worden op veel manieren gebruikt bij wiskunde. De simpelste manier is om te delen zonder decimale getallen te gebruiken.

Zo is 3 gedeeld door 4 hetzelfde als ¾.

Een breuk bestaat uit 2 delen. Het getal boven de streep is de teller en het getal onder de streep is de noemer.

Breuken vereenvoudigen

Breuken vereenvoudigen is erg makkelijk. Zie hieronder een voorbeeld.

Je deelt de teller en de noemer door hetzelfde getal om de breuk te vereenvoudigen.

Als de teller hoger is dan de noemer kun je de waarde van de noemer van de teller aftrekken. Zie de afbeelding.

Het is ook mogelijk om machten in een breuk te hebben. Vereenvoudig de breuk verder: 5/6 + 5/3x.

Rekenen met breuken

Het rekenen met breuken is best simpel. Vereenvoudig eventueel de breuk.

Delen:

Vermenigvuldig de buitenste twee getallen met elkaar. Vermenigvuldig de binnenste twee getallen met elkaar. Vereenvoudig de breuk indien mogelijk.

Machten

Rekenen met machten

  • Vermenigvuldigen:
  • Delen:
  • Machtsverheffen:
  • Optellen en aftrekken:

Let op! Je mag nooit twee getallen met verschillende machten optellen of aftrekken.

Wortels

Er bestaan verschillende machtswortels. Hieronder zie je een voorbeeld.

Vind een getal waarvan de wortel een heel getal is. Neem de wortel van de gevonden getallen uit stap 1 en schrijf deze voor het wortelteken.

Rekenen met wortels

Je kunt bij wortels gewoon rekenen net zoals bij alle andere getallen zolang de macht van de wortels hetzelfde zijn. Zie voorbeeld.

Omzetten breuken, machten en wortels

Je kunt breuken, machten en wortels heel makkelijk omzetten. Je mag dit alleen gebruiken om een functie op te lossen, omdat de uitkomsten voor negatieve waarden van x kunnen afwijken.

labels: #Ei

Zie ook: